From 4e12c58c051b393623cd6bbf9570d8bf45cedb2e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Emile Date: Sun, 24 Feb 2019 17:02:06 +0100 Subject: :pencil2: fixed typos --- docs/simulieren.tex | 73 ++++++++++++++++++++++++++++------------------------- 1 file changed, 38 insertions(+), 35 deletions(-) diff --git a/docs/simulieren.tex b/docs/simulieren.tex index fca0bfc..799d87f 100644 --- a/docs/simulieren.tex +++ b/docs/simulieren.tex @@ -5,13 +5,14 @@ Sternen, Planetensystemen, Gasnebeln und sonstigen Stellaren Objekten.'' \footnote{\url{https://de.wikipedia.org/wiki/Galaxie}} -\par Demnach ist es relativ Einfach eine Galaxie zu generieren: es werden einfach -ganz viele Objekte in einen Raum geworfen. Das reicht jedoch nicht um die Objekte als Galaxie definieren zu können, da sie nicht ''durch Gravitation +\par Demnach ist es relativ Einfach eine Galaxie zu generieren: es werden +einfach ganz viele Objekte in einen Raum geworfen. Das reicht jedoch nicht um +die Objekte als Galaxie definieren zu können, da sie nicht ''durch Gravitation gebunden'' sind. -\par Um dies zu tun muss die Kraft zwischen allen Objekten in der Galaxie berechnet -werden um damit die Position der jeweiligen Objekte nach einer bestimmten Zeit -bestimmen zu können. +\par Um dies zu tun muss die Kraft zwischen allen Objekten in der Galaxie +berechnet werden um damit die Position der jeweiligen Objekte nach einer +bestimmten Zeit bestimmen zu können. \par Tut man dies, indem man zwischen allen Objekten die Kräfte berechnet kommt es zu Problemen: die Anzahl der Kraft Berechnungen die durchgeführt werden @@ -20,42 +21,44 @@ lassen sich mit der Formel \( n \cdot (n-1) \) berechnen. Für \( n=3 \) müssen demnach \( 6 \) Kräfte berechnet werden, für \( 100 \) Sterne dagegen \( 9900 \) und für \( 1.000.000 \) Sterne \( \approx 9.99999 \cdot 10^{11} \). Die Anzahl der Kraft Berechnungen, die durchgeführt werden müssen beim Simulieren -einer ''echten'' Galaxie mit \( >200 \cdot 10^6 \) Sternen ist demnach so groß, -dass die Anzahl der Kräfte die berechnet werden müssen minimiert werden müssen, um in einer sinnvollen Zeit an ein Ergebnis zu kommen. +einer ''echten'' Galaxie mit \( > 200 \cdot 10^6 \) Sternen ist demnach so +groß, dass die Anzahl der Kräfte die berechnet werden müssen minimiert werden +müssen, um in einer sinnvollen Zeit an ein Ergebnis zu kommen. \par Dies reicht jedoch auch nicht, um eine ''stabile'' Galaxie zu generieren: -berechnet man nur die Kräfte die auf ruhende Objekte in einem Reibungsfreiem Raum -wirken, würden alle Objekte zum Massen Mittelpunkt gezogen werden und die Galaxie -würde somit implodieren. Es ist also nötig auf die Sterne in der Galaxie -Anfangs Kräfte zu wirken. Diese Kräfte sind durch die Rotation der Galaxie um -den Massen Mittelpunkt der Galaxie definiert, man rotiert also die Galaxie und -gleicht durch die Zentripetalkraft die Kraft die alle Sterne Richtung -Massen Mittelpunkt zieht aus. Rotiert man die Galaxie jedoch zu schnell, -explodiert sie förmlich, da die Sterne nicht mehr zusammengehalten werden und -die Fliehkraft sie einfach auseinanderzieht. +berechnet man nur die Kräfte die auf ruhende Objekte in einem Reibungsfreiem +Raum wirken, würden alle Objekte zum Massen Mittelpunkt gezogen werden und die +Galaxie würde somit implodieren. Es ist also nötig auf die Sterne in der +Galaxie Anfangs Kräfte zu wirken. Diese Kräfte sind durch die Rotation der +Galaxie um den Massen Mittelpunkt der Galaxie definiert, man rotiert also die +Galaxie und gleicht durch die Zentripetalkraft die Kraft die alle Sterne +Richtung Massen Mittelpunkt zieht aus. Rotiert man die Galaxie jedoch zu +schnell, explodiert sie förmlich, da die Sterne nicht mehr zusammengehalten +werden und die Fliehkraft sie einfach auseinanderzieht. \subsection{Konzepte} \subsubsection{Zu lösende Probleme} -Wie bereits beschrieben ist eines der Probleme das Auftritt die Anzahl der -nötigen Kraft Berechnungen wodurch der Rechenaufwand Quadratisch in Relation zu -der Anzahl der Sterne steigt und somit in \( O(n \cdot (n - 1)) \in O(n^2) \) -liegt. - -\par Es kommt zu Problemen, wenn der mittlere Fehler, der bei der Berechnung -der Kraft entsteht größer als die wirkende Kraft wird. Dies passiert unter -anderem dann, wenn der Abstand zwischen den Sternen so groß wird, das die -wirkende Kraft so gering ist das sie mithilfe von Computern nicht mehr sinnvoll -dargestellt werden kann. Statt nun mit Rundungsfehlern zu rechnen, können -diese Sterne, die sehr weit entfernt vom Stern dessen Kräfte berechnet werden -sollen, einfach nicht mehr beachtet werden, da sie nicht sinnvoll beitragen. Um -diese Sterne jedoch nicht komplett aus der Berechnung auszunehmen, können -kleine Cluster an Sternen welche weit genug vom Stern auf den die Kräfte -berechnet werden sollen weg sind und klein genug sind zu einem Pseudo- Stern -zusammengefasst werden welcher durch den Masse Mittelpunkt der Sterne die er -repräsentiert definiert ist. Das Konzept wurde 1986 von Josch Barnes und Piet Hut -veröffentlicht \cite{barneshut86} und erlaubt es die Anzahl an Kräften die berechnet werden müssen -von \( O(n^2) \) auf \( O(n log(n)) \) zu reduzieren. +Wie bereits in der Einleitung beschrieben, ist eines der Probleme das Auftritt +die Anzahl der nötigen Kraft Berechnungen wodurch der Rechenaufwand quadratisch +in Relation zu der Anzahl der Sterne steigt und somit in \( O(n \cdot (n - 1)) +\in O(n^2) \) liegt. + +\par Es kommt ebenfalls zu Problemen, wenn der mittlere Fehler, der bei der +Berechnung der Kraft entsteht, größer als die wirkende Kraft wird. Dies +passiert unter anderem dann, wenn der Abstand zwischen den Sternen so groß +wird, dass die wirkende Kraft so gering ist das sie mithilfe von Computern +nicht mehr sinnvoll dargestellt werden kann. Statt nun mit Rundungsfehlern zu +rechnen, können diese Sterne, die sehr weit entfernt vom Stern dessen Kräfte +berechnet werden sollen, einfach nicht mehr beachtet werden, da sie nicht +sinnvoll beitragen. Um diese Sterne jedoch nicht komplett aus der Berechnung +auszunehmen, können kleine Cluster an Sternen, welche weit genug vom Stern auf +den die Kräfte berechnet werden sollen weg sind und klein genug sind zu einem +Pseudo-Stern zusammengefasst werden, welcher durch den Masse Mittelpunkt der +Sterne die er repräsentiert definiert ist. Das Konzept wurde 1986 von Josch +Barnes und Piet Hut veröffentlicht \cite{barneshut86} und erlaubt es die Anzahl +an Kräften, die berechnet werden müssen von \( O(n^2) \) auf \( O(n log(n)) \) +zu reduzieren. \subsubsection{Generierung von Quadtrees und entsprechende Bäume} -- cgit 1.4.1