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diff --git a/langfassung/docs/3_hauptteil.tex b/langfassung/docs/3_hauptteil.tex index 617e4f9..c3edf57 100644 --- a/langfassung/docs/3_hauptteil.tex +++ b/langfassung/docs/3_hauptteil.tex @@ -1,27 +1,11 @@ - -% \paragraph{ \( \Phi \) } -% -% \begin{equation} -% \Phi(r) = - \frac{4\pi G \rho_0 R_s^3}{r} \ln ( 1+ \frac{r}{R_s} ) -% \end{equation} -% -% with the limits -% -% \begin{equation} -% \lim_{r\to \infty} \Phi=0 -% \end{equation} -% -% and -% - - -\subsection{Generierung der Elliptischen Galaxien} +\subsection{Generierung von elliptischen Galaxien} \subsubsection{Das Navarro-Frenk-White Profil} -Das Navarro-Frenk-White profil (NFW-profil) ist im grunde genommen eine Funktion -die einem die Warscheinlichkeit das ein Stern an einer bestimmten position ist -liefert. -Die Funktion ist im allgemeinen wie folgt aufgebaut: +Das Navarro-Frenk-White Profil (NFW-profil) ist ein Profil zur Simulation +von Masseverteilungen in N-Körper-Simulationen. Im Grunde genommen bekommt man durch das Profil die +Wahrscheinlichkeit das ein Stern in einem Abstand \( r \) vom Mittelpunkt der +Galaxie existiert. +Die Funktion die dies bewerkstelligt ist im Allgemeinen wie folgt aufgebaut: \begin{equation} \label{eq:NFW_profile} \rho_{NFW}(r) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 \pi } \cdot \sigma } \cdot @@ -33,87 +17,125 @@ Die Funktion ist im allgemeinen wie folgt aufgebaut: ln{ \left( 1 + \frac{ r }{ R_{s} } \right) } \end{equation*} -Um die Formel (\ref{eq:NFW_profile}) einfach zu beschreiben kann man sie sich -wie folgt vorstellen: -Um zu gucken ob ein zufälliger Stern -bei \( x_1 \), \( y_1 \) und \( z_1 \) generiert werden kann wird wie folgt -vorgegangen: Aus den Koordinaten wird der Wert \( r \) mithilfe des Satz des -Pytargoras berechnet ( \( r = \sqrt{{x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2} \) ) , dieser gibt -an wie weit der jeweilige Stern vom Zentrum der Galaxie entfernt ist. Um zu -prüfen ob der Stern generiert wird, wird dieser \( r \)-wert in die Funktion -\( \rho_{NFW} \) eingesetzt. Der entstehende Wert gibt an wie warscheinlich es ist, -das ein Stern in der Entfernung zum Ursprung generiert wird. +Beispiel Werte: -\subsubsection{Random Sampling} +\begin{tabular}{l l l} + \( sigma \) & = & 200 \\ + \( f_0 \) & = & 0.1 \\ + \( R_s \) & = & 10000 \\ + \( pi \) & = & 3.141592 \\ + \( e \) & = & 2.718281 \\ + \( G \) & = & 4.302e-3 \\ +\end{tabular} -Die sogennante ''Random Sampling`` Methode wird genutzt um herrauszufinden ob -ein Stern generiert wird oder nicht.Es wird dazu ein zufälliger -Wert \( x \) im bereich \( [~\rho_{max}~;~\rho_{min}~] \) generiert. Liegt dieser -Wert über dem Wert aus der Funktion \( \rho \) wird kein Stern generiert. -Liegt dieser Stern jedoch unter dem wert aus der \( \rho \) Funktion wird -ein Stern an den Koordinaten \( x_1 \), \( y_1 \) und \( z_1 \) generiert. +Möchte man herausfinden wie wahrscheinlich es ist das ein Stern generiert wird, +setzt man den Abstand des Sternes vom Mittelpunkt der Galaxie in die Formel +(\ref{eq:NFW_profile}) ein. Möchte man z. B. wissen wie wahrscheinlich es ist, +das ein Stern der die Koordinaten \( (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \) besitzt generiert +wird, wird der Abstand zum Mittelpunkt der Galaxie mithilfe des Satzes des +Pythagoras berechnet: -Um das generieren zu Beschleunigen wird eine sogenneante ''lookuptable`` -verwendet. (\( \rightarrow \) \ref{subsec:lookuptable}) - -Generiert man ein paar Sterne mithilfe des NFW-Profils hat man theoretisch -schon eine Galaxie, jedoch ist diese nicht klar definiert. Um eine klare -definition zu erreichen müssen mehrere hundert Sterne generiert werden. - -% \subsubsection{Das Einasto Profil} -% -% \begin{equation} -% \gamma(r) = \frac{ d \ln(\rho(r)) }{ d \ln(\rho) } \propto r^{\alpha} -% \end{equation} +\begin{equation} + r = \sqrt{ {x_{1}}^2 + {x_{2}}^2 + {x_{2}}^2 } +\end{equation} -% \subsubsection{Blender + Python} -% -% Blender is Awesome, Python is Awesome and together they are -% \bold{SUPER AWESOME!!!} -% -% \begin{enumerate} -% \item Generate the galaxy-data using the NFW-Profile or the Einasto-profile -% \item Display the data in Blender and create an image using the OpenGL-renderer -% \item Train a Neural Network (NN) to classify galaxies -% \item Let the NN modify the galaxy to generate a perfect galaxy -% \end{enumerate} +In dem Beispiel wird also der Wert \( r \) in das NFW-Profil gegeben: +\begin{equation*} + \rho_{NFW}(r) = \dots = s +\end{equation*} -\subsection{Generierung eines Dunkle-Materie Halos} +Als Lösung erhält man einen Wert der in einem Intervall +\( [~\rho(r_{min})~;~\rho(r_{max})~] \) liegt. Rechnet man \( \rho(r_{min}) \) und +\( \rho(r_{max}) \) aus, ist es möglich den jeweiligen Ergebnissen anhand dieser +Werte eine Wahrscheinlichkeit zwischen \( 0 \) und \( 100\% \) zuzuordnen Sodas +es möglich ist zu entscheiden, ob ein Stern bei \( P(x_1 | x_2 | x_3) \) generiert +werden soll oder nicht. + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.75\textwidth]{figs/galaxy} + \caption{Eine mit dem NFW-profil und der Random Sampling Methode generierte Galaxie} + \label{fig:galaxy} +\end{figure} + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.75\textwidth]{figs/lookup_table_rho_r_function_grid} + \caption{ + Die Rho Funktion im Intervall \( [~0~;~10^7 ~] \) geplottet mithilfe von Logarithmischen Achsen. \\ + Die x-Achse beschreibt die Entfernung zum Mittelpunkt der Galaxie \\ + Die y-Achse beschreibt die Warscheinlichkeit das ein Stern generiert wird + } + \label{fig:rho} +\end{figure} -Das sogennannte ''Dunkle-Materie Halo`` ist eine art Kugel die eine Galaxie -umspannt: Duch dieses Halo ist die Dichte der Dunklen Materie welches sich um die -Galaxie herum befindet definiert. Problematisch ist jedoch, dass wir dieses -Halo nicht sehen können weshalb wir nur aufgrund anderer phänomäne welche durch -die Halos verursacht werden auf die Eigenschaften des Halos schließen können. -\par -Um diese Halos darzustellen wird das NFW-Profil~(\ref{eq:NFW_profile}) -abgewandelt und quasi mit dem Profil für Elliptische Galaxien verbunden. +\subsubsection{Random Sampling} -... +Um jetzt herauszufinden ob der Stern bei \( P(x_{1} | x_{2} | x_{3}) \) generiert +wird, wird ein zufälliger Wert \( n \) im Intervall +\( [~\rho(0)~;~\rho(r_{max})~] \) generiert und mit dem Wert \( x \) +verglichen. +Ein Stern wird generiert wenn gilt \( n < x \). Wenn jedoch \( n > x \) gilt +wird kein Stern generiert. +Dieser Prozess wird Random Sampling gennant und ist einer der Knackpunkte wenn +es darum geht die Zeit in der ein Stern generiert wird zu reduzieren. Eine +Möglichkeit dies zu tun sind sogenannten Lookuptabellen (siehe Sektion \ref{subsec:lookup}) + +\subsubsection{Lookup Tabellen} \label{subsec:lookup} + +Um das generieren zu Beschleunigen wird eine sogenannte ``lookuptable'' +verwendet. (\( \rightarrow \) \ref{subsec:lookuptable}) dabei wird die Funktion +aus dem NFW-profile (\ref{eq:NFW_profile}) in eine Tabelle geschrieben die im +.csv-format in eine Datei gespeichert. Dies hat den Vorteil das die +Ergebnisse gespeichert vorliegen und somit für andere Berechnungen weiterverwendet +werden können und bei der Berechnung in den Arbeitsspeicher geschrieben werden, +wodurch die Ergebnisse aus der Funkion bei Bedarf vorliegen und nicht erst +berechnet werden müssen. + +\subsection{Generierung eines Dunkle-Materie Halos durch Anpassung des NFW-Profils} + +Die Rotationskurve von Spiralgalaxien verhält sich in der Realität anders als +in einer Simulation. Der Unterschied lässt sich durch eine Kraft erklären +die Auswirkungen auf Materie haben kann, jedoch nicht sichtbar ist. Dadurch +kann diese Kraft nur durch Rückschlüsse beschrieben werden. Verhält sich ein +Objekt also nicht so, wie es aufgrund der sichtbaren auf es einwirkenden Kräfte +tun sollte, so muss eine andere Kraft vorhanden sein, die das Objekt beeinflussen. +Diese ``Kraft'' entsteht voraussichtlich aufgrund von dunkler Materie. +Dadurch das man Dunkle Materie durch beobachten von Sternen orten kann +indem man berechnet wie sich die Sterne theoretische verhalten sollten und dies mit den +realen Gegebenheiten vergleicht kann man die Funktion die eigentlich die Dichte der +Sternenverteilung (NFW-profil) erklären soll so anpassen das man die Dichte der +Verteilung von dunkler Materie berechnen kann. +Das NFW-profil (\ref{eq:NFW_profile}) kann also so angepasst werden, dass es +statt die Wahrscheinlichkeit das ein Stern generiert wird die Wahrscheinlichkeit +das Dunkle Materie an einem zufälligem Ort existiert, umgebaut werden. +Das NFW-profil (\ref{eq:NFW_profile}) wird also zu (\ref{eq:dark_matter}) +umgebaut. -\subsubsection{Anpassung des NFW-Profils} +\bigskip -\begin{equation} - \rho(r) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot \sigma} \cdot +\begin{equation}\label{eq:dark_matter} + \rho_{NFWDM}(r) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot \sigma} \cdot e^{\left( - \frac{(\Phi(r)}{\sigma^{2}} \right)} \end{equation} \begin{equation} - \rho(r) \cdot 1-\frac{1}{(2 \cdot sigma^{2} )} \cdot - ( Mxx \cdot x^{2} + 2 \cdot Mxy \cdot xy + Myy \cdot y^{2} )) + \Phi(r) = 1-\frac{1}{(2 \cdot \sigma^{2} )} \cdot + ( M_{xx} \cdot x^{2} + 2 \cdot M_{xy} \cdot xy + M_{yy} \cdot y^{2} )) \end{equation} -\begin{lstlisting} +\bigskip -# new rho function -def rho_new(x, y, z): +Eine Mögliche Implementation in der Programiersprache Python als Funktion: + +\begin{lstlisting} +def rho(x, y, z): a = (1 - ((1) / (2 * (sigma ** 2))) b = ( Mxx * x**2 + 2 * Mxy * x * y + Myy * y**2 ) ) c = a * b -return rho(x, y, z) * c + return rho(x, y, z) * c -# phi function def phi(x): if x == 0: return -4 * pi * f_0 * G * R_s**2 @@ -122,10 +144,8 @@ def phi(x): b = np.log(1. + (x / R_s) ) c = a * b return c - \end{lstlisting} - \subsection{Stauchung und Streckung der Galaxie} Wird eine Galaxie gestreckt oder gestaucht kann das an der umliegenden Dunklen @@ -133,53 +153,118 @@ Materie liegen. Um solch eine Streckung darzustellen wird wie folgt vorgegangen: Die Position eines Sternes an einer Achse muss mit einem Skalar multipliziert bzw. dividiert werden. Dies ist relativ einfach machbar da die Koordinaten der jeweiligen Sterne -in einer Datei nach dem Format \( [x, y, z] \) gespeichert sind. -Um die Galaxie vertikal zu strecken wird z.B. für jeden Stern die z-Koordinate -mit dem skalar \( s \) multipliziert. Da gestaucht werden soll liegt dieser +in einer Datei nach dem Format \( x, y, z \) gespeichert sind. +Um die Galaxie vertikal zu strecken wird z. B. für jeden Stern die z-Koordinate +mit dem skalar \( s \) multipliziert. Wenn gestaucht werden soll liegt dieser Wert im Intervall \( 0 < s < 1 \). Die neue Koordinate für einen Stern ist also -\( [x, y, z \cdot s] \). Möchte man die Galaxie strecken muss das Skalar \( s \) +\( x, y, z \cdot s \). Möchte man die Galaxie strecken muss das Skalar \( s \) im Intervall \( 1 < s < \infty \) liegen. -\subsection{Beschleunigung der Generierung} +Indem man ganz grob feststellt in welchen Bereichen der Galaxie der Anteil an +dunkler Materie höher ist kann man dies mit in die Berechnungen einfließen lassen. +In meinem Fall habe ich z. B. ausprobiert einen Richtungsvektor \( \vec{r} \) +zu generieren der von einem Stern in die Richtung der dunklen Materie zeigt. +anschließend hab ich den Richtungsvektor mit einem Skalar \( s \) multipliziert +um die Stärke mit der die Dunkle Energie auf einen jeweiligen Stern wirkt +kontrollieren zu können. Als letztes habe ich dann den Richtungsvektor +mit mit den Koordinaten des Sternes multipliziert um eine theoretische neue +Position für den Stern zu generieren. Tut man dies für alle Sterne entstehen +kleinere sogenannte ''cluster'' in denen sich die Sterne bündeln. Ein Problem +hierbei war, dass es unglaublich rechenaufwendig ist dies für mehrere hunderte +von Tausenden Sternen zu berechnen (siehe Sektion \ref{subsec:big_o} +und \ref{subsec:speeding_things_up}) + +\subsection{Rechenaufwand} \label{subsec:big_o} + +Um den Rechenaufwand in der Informatik darzustellen wird die sogenannte +''O notation'' verwendet. Diese Notation wird verwendet um zu beschreiben +wie viele schritte gebraucht werden um an ein Ziel zu kommen, abhängig von der +Anzahl der ''Objekte'': -Die Sterne schnell zu generieren ist natürlich energieeffizienter aber auch -wichtig damit das neuronale netzt in unserer lebzeit fertig wird. +\begin{equation} + O(n) = |\dots| +\end{equation} -Es gibt ein paar Aktionen die umgebaut werden können um das generieren zu -beschleunigen: +Beispiel: -\subsubsection{n-Sterne} +\begin{equation*} + O(n) = |n^2| +\end{equation*} -Statt am Anfang mehrere Millionen Sterne zu generieren wird wenn eine -neue Koordinate benötigt wird eine neue erstellt. So erstellt man auf keinen -Fall zu viele Koordinaten was Zeit spaart. -Dem programm kann also gesagt werden, dass es genau \( n_1 \) Sterne aus -\( m_1 \) potentiellen Sternen generieren soll, andernfalls werden \( n_2 \) -Sterne aus \( m_2 > m_1 \) potentiellen Sternen generiert. +Möchte man z. B. die Kräfte zwischen \( n = 100 \) Sternen +berechnen werden \( O(100) = 100^2 = 10000 \) Rechnungen ausgeführt. -\subsubsection{Lookuptable} \label{subsec:lookuptable} +Bei einer ''O notation'' von \( n^2 \) bei der Berechnung von +Kräften zwischen den Sternen kann also davon ausgegangen werden das desto +mehr Sterne existieren, die Rechenleistung die gebraucht wird um in derselben +Zeit dieselbe Anzahl an Sternen zu generieren Exponentiell für jeden Stern +Steigen wird. -Eine Weitere Möglichkeit für meherere Berechnungen Zeit zu Spaaren ist, den -Entsprechenden Wert aus dem NFW-Profil (Formel \ref{eq:NFW_profile}) vorher zu -berechnen und in eine Tabelle zu schreiben. -Dies kann für z.B. \( 2e8 \) Werte getan werden was zwar eine 6 GB große Datei -erzeugt, diese kann jedoch innerhalb weniger Sekunden eingelesen werden. - -\subsubsection{Weitere Optimierungen} +Eines Optimales Ergebnis wäre eine ''Big O notation'' von \( n\log{n} \), +jedoch ist dies zurzeit nicht ganz möglich. -\paragraph{Nichts in der Konsole ausgeben:} +\subsection{Beschleunigung der Generation} \label{subsec:speeding_things_up} -Eine Vorgang der erstaunlicherweise sehr viel Rechenleistung erfordert, ist -der Vorgang beim ausgeben von Text in die Konsole. Gibt man jede potentielle -Koordinate in die Konsole aus, stürtzt das Programm aufgund von Überlast ab. -Um dies zu umgehen kann z.B. nur jeder 100.000 Wert in die Konsole ausgegeben -werden. +Die Geschwindigkeit mit der die Sterne generiert werden ist ohne irgendeine Art +von Optimierung unglaublich langsam. Die NFW-Funktion (\ref{eq:NFW_profile}) +wird für jeden Stern aufs neue vom Computer berechnet was auf mehrere Tausend +Sterne hochgerechnet unglaublich rechenaufwendig ist. +Ein Weiteres Problem ist, dass das Programm von alleine nur einen Kern +verwendet und somit auf eine menge Rechenleistung verzichtet. +Durch Nutzung von mehreren Kernen kann die Zeit +um \( n \) Sterne zu generieren schnell halbiert oder sogar geviertelt werden. -\paragraph{...} +\subsubsection{Lookuptable} \label{subsec:lookuptable} -\newpage -\subsection{Nutzung eines Neuronalen Netzes zum unbeaufsichtigeten generieren} -\subsubsection{Aufbau des Neuronalen Netzes} +Eine weitere Möglichkeit für mehrere Berechnungen Zeit zu Sparen ist, den +entsprechenden Wert aus dem NFW-Profil (Formel \ref{eq:NFW_profile}) vorher zu +berechnen und in eine Tabelle zu schreiben. +Dies kann für z. B. \( 2 \cdot 10^8 \) Werte getan werden was zwar eine ca. 6 GB große +Datei erzeugt, diese kann jedoch innerhalb weniger Sekunden eingelesen werden +und somit das "errechnen" eines entsprechenden Wertes praktisch innerhalb von +Bruchteilen einer Sekunde simulieren indem das Ergebnis einfach aus dem +Arbeitsspeicher ausgelesen wird. + +\subsubsection{Mehr Rechenleistung!} + +Um mehr Sterne in weniger Zeit zu generieren können verschiedene +Aspekte der Software optimiert werden. Um jedoch ohne Optimierung mehr Sterne +zu generieren kann einfach mehr Rechenleistung verwendet werden. Dies ist im +Grunde genommen die einfachste Möglichkeit mehr Sterne in einer relativ kurzen +Zeitspanne zu generieren: Schon die Verwendung von vier statt zwei Kernen +ermöglicht es einem in 30 Min. statt ca. 300 Sterne ca. 600 Sterne zu generieren. + +\paragraph{Amazon Web Services} ~\\ +Um das Generieren von Galaxien so "profitabel" wie möglich zu machen können +sogenannte ''Amazon Web Services\footnote{ +Amazon Web Services (AWS) ist ein US-amerikanischer Cloud-Computing-Anbieter, +der 2006 als Tochterunternehmen des Online-Versandhändlers Amazon.com gegründet +wurde. Zahlreiche populäre Dienste wie beispielsweise Dropbox, Netflix, +Foursquare oder Reddit greifen auf die Dienste von Amazon Web Services zurück. +2013 stufte Gartner AWS als führenden internationalen Anbieter im Cloud +Computing ein. +} '' +(AWS) genutzt werden. +Der Dienst ''EC2'' kostet z.B. mit 60 Kernen und 256GB RAM nur \$3.712 pro Stunde. +Statt mit einem Kern in einer Stunde ca. 600 Sterne zu generieren können +also in einer Stunde 38400 Sterne generiert werden! Möchte man \( 1 \cdot +10 ^ 6 \) Sterne generieren bräuchte man mit einer Geschwindigkeit von +ca. 600 Sternen pro Stunde und 64 Kernen ca. 26 Stunden. Dies kostet umgerechnet +ca. 100\$ (83€). +Eine weitere Möglichkeit besteht darin, Virtuelle Server von Netcup anzumieten. +Hierbei kosten z.B. 6 Kerne für einen Monat 8€ wodurch man frei nach Belieben +den ganzen Tag Galaxien generieren kann. + +\subsubsection{Nichts in der Konsole ausgeben}~\\ +Ein Vorgang der erstaunlicherweise sehr viel Rechenleistung erfordert, ist +der Vorgang beim Ausgeben von Text in die Konsole. Gibt man jede potentielle +Koordinate in die Konsole aus, stürzt das Programm aufgrund von Zuviel Daten im Arbeitspeicher ab. +Um dies zu umgehen kann z. B. nur jeder 100.000 Wert in die Konsole ausgegeben +werden was jedoch auch überflüssig ist wenn man ungefähr abschätzen kann, wann +das Script fertig gelaufen ist. + +\subsection{Nutzung eines neuronalen Netzes zum unbeaufsichtigten generieren von Galaxien} +\subsubsection{Aufbau des neuronalen Netzes} Ein Neuronales Netz ist wie folgt aufgebaut: @@ -206,15 +291,19 @@ Ein Neuronales Netz ist wie folgt aufgebaut: \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=2cm, y=1.5cm, >=stealth] + % Input nodes \foreach \m/\l [count=\y] in {1,2,3,missing,4} \node [every neuron/.try, neuron \m/.try] (input-\m) at (0,2.5-\y) {}; + % Hidden nodes \foreach \m [count=\y] in {1,missing,2} \node [every neuron/.try, neuron \m/.try ] (hidden-\m) at (2,2-\y*1.25) {}; + % Output nodes \foreach \m [count=\y] in {1,missing,2} \node [every neuron/.try, neuron \m/.try ] (output-\m) at (4,1.5-\y) {}; + % Synapses \foreach \l [count=\i] in {1,2,3,n} \draw [<-] (input-\i) -- ++(-1,0) node [above, midway] {$I_\l$}; @@ -234,6 +323,7 @@ Ein Neuronales Netz ist wie folgt aufgebaut: \foreach \j in {1,...,2} \draw [->] (hidden-\i) -- (output-\j); + % Labels \foreach \l [count=\x from 0] in {Eingabe, Versteckte, Ausgabe} \node [align=center, above] at (\x*2,2) {\l \\ ebene}; @@ -243,64 +333,306 @@ Ein Neuronales Netz ist wie folgt aufgebaut: \hrule -\bigskip +Im Grunde genommen werden Daten eingespeist und miteinander verrechnet, wodurch +am Ende ein oder mehrere Werte rauskommen mit denen man die verschiedensten +Sachen tun kann. In meinem Fall konnte ich z. B. die durchschnittliche Dichte +von Sternen, die Größe der Galaxie und viele andere Faktoren in das neuronale +Netz einspeisen um am Ende zwei Werte entnehmen. Das neuronale Netz muss +trainiert werden, dabei werden echte funktionierende Daten in das Netz eingespeist +und mit bereits vorhandenen Ergebnissen verglichen. Ist das Ergebnis gut und +stimmt ungefähr mit dem bereits vorhandenen Ergebnis überein wird am Netz selber +nichts getan. Stimmt das Ergebnis aus dem Netz mit dem bereits vorhandenen +jedoch nicht überein, dann werden im neuronalen Netz die sogenannten Synapsen +(Die Verbindungen zwischen den Neuronen (Oben als Kreis dargestellt)) +entsprechend anders gewichtet. + +\paragraph{Neuronen und Synapsen} + +In einem neuronalen Netz sind sogenannte Neuronen (In der Abbildung oben als +Kreis dargestellt) über sogenannte Synapsen (In der Abbildung oben als Linie +zwischen zwei Neuronen dargestellt) miteinander verbunden. +Die Neuronen können als eine Art Funktion gesehen werden. Sie Wandeln die Daten +die sie bekommen mithilfe einer Aktivierungsfunktion in einen Zahlenbereich +zwischen 0 und 1 um. Eine solche Aktivierungsfunktion kann die folgende Form +haben: + +\begin{equation} + S(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} +\end{equation} + +Die Synapsen können verschieden gewichtet sein. Bekommt eine Synapse z. B. +einen Eingabewert \( x \), dann kann der Eingabewert mit der Gewichtung \( w \) +der Synapse verrechnet werden um den Ausgabewert \( a \) zu erhalten: + +\begin{equation} + x \cdot w = a +\end{equation} -Das \textbf{Neuronale Netz} besitze mehrere Ebenen: die \textbf{Eingabe ebene}, -die \textbf{Versteckte Ebene(n)} und die \textbf{Ausgabe Ebene}. -Diese Ebenen bestehen aus sogennanten \textbf{Neuronen} die wie im Menschlichen -Gehirn Informationen aufnehmen und weitergeben. Die Eingabe kann verschieden -gewichtet sein, es kann also sein das eine Eingabe eine Gewichtung von -\( 10\% \) hat und eine andere eine Gewichtung von \( 90\% \). -Die Eingabe Ebene ist dazu da eine Eingabe inform einer Matrix an die -verschiedenen Neuronen in der Versteckten Ebene weiterzuleiten. -Die Versteckte Ebene verarbeitet die Information aus der Matrix und leitet -diese an die Ausgabe Ebene weiter die die Information ausgibt. -\par -Das sogennante ''Trainieren`` ist der Prozess, bei dem die Gewichtung der -Neuronen so Verändert wird, damit ein gewünschtes Ergebnis herrauskommt. -Beispiel: man möchte ein Neuronales Netz darauf Trainieren eine Galaxie zu -Identifizieren, dann werden ganz viele positiv Beispiele durch das Netz gejagt -welche die Gewichtung immer weiter anpassen. In der Ausgangs Ebene wird dann -mithilfe zweier Neuronen entweder dargestellt das das eingegebene Bild eine -Galaxie ist oder das das eingegebene Bild eben keine Galaxie ist. +Für eine weite Ausführung in den Bereich der neuronalen Netze reicht die vorgegebene +Maximalanzahl an Seiten leider nicht, deshalb hier kurz das wesentliche: +Um neuronale Netze effektiv nutzen zu können wird unglaublich viel +Rechenleistung benötigt. Diese habe ich nicht einfach so zur Verfügung, weshalb +ich Kontakt mit verschiedenen Unis und Unternehmen aufgenommen haben um dort +vielleicht Zugang zu einem Hochleistungsrechner zu bekommen. Zum Zeitpunkt der +Abgabe dieser Langfassung (\today) habe ich jedoch noch keine Möglichkeit gehabt +meine Software auf einem solchen Hochleistungs-Rechner laufen zu lassen. Deshalb +habe ich beschlossen die Nutzung von neuronalen Netzen nach hinten zu verschieben, +auch wenn das Thema unglaublich spannend ist. -\subsubsection{Nutzung eines Neuronalen Netztes zur verbesserung von Galaxien Simulationen} +\bigskip +% +% \paragraph{Was ist ein Neuronales Netz?} +% Ein Neuronales Netz ist ein Gebilde das aus Neuronen und Synapsen besteht. +% +% \paragraph{Was ist ein Neuron?} +% Ein Neuron ist ein Knotenpunkt in einem Neuronalen Netz. Es summiert die +% einkommenden synapsen. +% +% \paragraph{Was ist eine Synapse} +% Eine Synapse ist eine Verbindung zwischen zwei Neuronen. Die Synapsen +% können verschiden gewichtet sein wobei der Eingabewert mit der Gewichtung der +% Synapse multipliziert wird. +% +% \paragraph{Was ist eine Aktivierungsfunktion?} +% Eine Aktivierungsfunktion ist die Funktion die genutzt wird um einen beliebigen +% Wert in einen Wert \( x \) für den gilt \( 0 < x < 1 \). +% Beispiel einer Aktivierungsfunktion: +% Die Funktion (\ref{eq:pyth}) ist der Satz des Pythagoras. +% +% \begin{equation}\label{sigmoid} +% \frac{1}{1+e^{-x}} +% \end{equation} +% +% \begin{equation} +% 2 + 2 = 4 +% \end{equation} +% +% \begin{equation} +% 1 + 1 = 2 +% \end{equation} +% +% \begin{equation}\label{eq:pyth} +% a^2 + b^2 = c^2 +% \end{equation} +% +% \paragraph{Was haben die verschiedenen Ebenen zu bedeuten?} +% Die Verschiedenen Ebenen in einem Neuronalen Netzt haben verschiedene +% Funktionen: Die erste Ebene, die sogennante Eingabe Ebene, ist dazu da, eine +% Eingabe in das Netzt einzuschleusen. +% Die Ebenen zwischen der Eingabeebene und er Ausgabeebene werden als Versteckte +% Ebenen bezeichten. Es muss mindestens eine Versteckte Ebene geben damit das +% Netz lernfähig ist, es gibt jedoch keine Begrenzung wieviele Ebenen es geben +% kann. +% Die Ausgabe Ebene ist dazu da die Verarbeiteten Werte auszugeben. +% Hier Bekommt man bei einer Aktivierungsfunktion (\ref{sigmoid}) die eine Ausgabe +% zwischen 0 und 1 liefert einen Wert zwischen 0 und 1. +% +% \paragraph{Was bringen die ``versteckten Ebenen''?} +% Die Versteckten Ebenen liegen zwischen den Ein- und Asugabeebenen. Sie sind +% dazu da das lernen im Neuronalen Netz zu ermöglichen. +% +% \paragraph{Was ist ``Foward Propagation''?} +% Als "Foward Propagation" wird der Vorgang bezwichten, bei dem ein Wert durch +% das Neuronale Netz geschleust wird. +% +% \paragraph{Wie lernt das Neuronale Netz?} +% Das Neuronale Netz lernt indem es immer wieder die Eingabewerte durch das +% Neuronale Netz schiebt. Hierbei werden am Ende die Gewichtugnen der Synapsen +% verändert wodurch das Netz sich immer weiter verändert. +% +% \paragraph{Was ist ``Backward Propagation?''} +% Als "Backward Propagation" wird der Vorgang bezeichnet indem man nachdem man +% einen Wert duch das Netz geschoben hat im Netz zurück geht und mögliche +% Fehlerquellen sucht. Damit kann wenn bereits ein richtiges Ergebniss vorhanden +% ist, wie z.B. bei der Digitalen Bilderkennung eine Zahl, einen Fehlerkoeffizinet +% berechnet werden der dazu genutzt wird ein besseres Ergebniss zu erzielen. +% +% +% Das \textbf{Neuronale Netz} besitze mehrere Ebenen: die \textbf{Eingabe ebene}, +% die \textbf{Versteckte Ebene(n)} und die \textbf{Ausgabe Ebene}. +% Diese Ebenen bestehen aus sogennanten \textbf{Neuronen} die wie im Menschlichen +% Gehirn Informationen aufnehmen und weitergeben. Die Eingabe kann verschieden +% gewichtet sein, es kann also sein das eine Eingabe eine Gewichtung von +% \( 10\% \) hat und eine andere eine Gewichtung von \( 90\% \). +% Die Eingabe Ebene ist dazu da eine Eingabe inform einer Matrix an die +% verschiedenen Neuronen in der Versteckten Ebene weiterzuleiten. +% Die Versteckte Ebene verarbeitet die Information aus der Matrix und leitet +% diese an die Ausgabe Ebene weiter die die Information ausgibt. +% \par +% Das sogennante ''Trainieren`` ist der Prozess, bei dem die Gewichtung der +% Neuronen so Verändert wird, damit ein gewünschtes Ergebnis herrauskommt. +% Beispiel: man möchte ein Neuronales Netz darauf Trainieren eine Galaxie zu +% Identifizieren, dann werden ganz viele positiv Beispiele durch das Netz gejagt +% welche die Gewichtung immer weiter anpassen. In der Ausgangs Ebene wird dann +% mithilfe zweier Neuronen entweder dargestellt das das eingegebene Bild eine +% Galaxie ist oder das das eingegebene Bild eben keine Galaxie ist. +% +% \subsubsection{Nutzung eines Neuronalen Netztes zur verbesserung von Galaxien Simulationen} +% +% Möchte man mithilfe eines Neuronalen Netztes vorhandene Galaxiensimulationen +% verbessern, wird wie im folgenden Diagramm zusehen vorgegangen: +% +% \begin{tikzpicture} +% [node distance = 4cm, auto, ->, on grid] +% +% \node [draw, minimum width=3cm, text depth = 1cm] (galaxy) {Galaxie}; +% \node [draw, right of=galaxy] (neural_net) {Neuralonales Netz}; +% +% \node [draw] (yes) [right of=neural_net] {Ja} +% node [right=3cm of yes, align=center] {Galaxie ist eine Galaxie}; +% +% \node [draw] (no) [below=2cm of neural_net] {Nein} +% node [right=3.5cm of no, align=center] {Galaxie ist keine Galaxie \\ +% \( \rightarrow \) ändere parameter und \\generiere eine neue Galaxie}; +% +% +% \draw[->, line width=0.25mm] (galaxy) -- (neural_net) +% node [above=1cm of neural_net, align=center] {Testet ob die Eingabe \\eine +% Galaxie ist oder nicht}; +% +% \node[draw, yshift=5mm] (paramter) at (galaxy.south) {paramter}; +% +% \draw[->, line width=0.25mm] (neural_net) -- (yes); +% \draw[->, line width=0.25mm] (neural_net) -- (no); +% +% \path[line width=0.25mm] (no) edge [bend left] node {} (paramter); +% +% \end{tikzpicture} -Möchte man mithilfe eines Neuronalen Netztes vorhandene Galaxiensimulationen -verbessern, wird wie im folgenden Diagramm zusehen vorgegangen: +\subsection{Spiralgalaxien} -\begin{tikzpicture} -[node distance = 4cm, auto, ->, on grid] +Spiralgalaxien sind im allgemeinen faszinierende Gebilde: Aus mehreren Millionen +Sternen entsteht eine Reisige Spirale. Dies zu simulieren ist jedoch unglaublich +Rechenaufwendig weshalb ich dies bisher nur mir kleineren Galaxien durchgeführt +habe. Das Problem ist, dass die Kräfte zwischen jedem Stern und jedem anderem +Stern ausgerechnet werden müssen was wie in Sektion \ref{subsec:big_o} beschrieben +mit steigender Anzahl an Sternen eine Exponentielle Steigerung der Rechenzeit +hervorruft. -\node [draw, minimum width=3cm, text depth = 1cm] (galaxy) {Galaxie}; -\node [draw, right of=galaxy] (neural_net) {Neuralonales Netz}; +\par Ein interessanter Aspekt der Spiralgalaxien den ich in die Simulationen +einzubauen ist die Diskrepanz zwischen der realen Position +der Sterne und der berechneten Position durch die Auf Dunkle Materie geschlossen +wird. -\node [draw] (yes) [right of=neural_net] {Ja} -node [right=3cm of yes, align=center] {Galaxie ist eine Galaxie}; +\subsubsection{Das n-Körper Problem} -\node [draw] (no) [below=2cm of neural_net] {Nein} -node [right=3.5cm of no, align=center] {Galaxie ist keine Galaxie \\ -\( \rightarrow \) ändere parameter und \\generiere eine neue Galaxie}; +(nach der Ph.D. Thesis von Jakub Schwarzmeier s. 18 - 22, Pilsen 2007) +Das sogenannte \( N \)-Körper Problem wird dazu genutzt um ein System mit +\( N \)-Körpern zu simulieren. Hierbei müssen alle von außen einwirkenden +Kräfte \(\vec{F_{i}} \) mit eingerechnet werden, im falle von Galaxien also die +universelle Gravitationsregel von Newton. -\draw[->, line width=0.25mm] (galaxy) -- (neural_net) -node [above=1cm of neural_net, align=center] {Testet ob die Eingabe \\eine -Galaxie ist oder nicht}; +\begin{equation} + m_{i} \cdot \frac{d\vec{v_{i}}}{dt} = \vec{F_i} +\end{equation} -\node[draw, yshift=5mm] (paramter) at (galaxy.south) {paramter}; +Für zwei Punkte in einer Galaxie gilt nach der universellen Gravitationsregel von +Isaac Newton: -\draw[->, line width=0.25mm] (neural_net) -- (yes); -\draw[->, line width=0.25mm] (neural_net) -- (no); +\begin{equation} + m_{i} \cdot \frac{d\vec{v_{i}}}{dt} = + G \cdot \frac{m_{i} \cdot m_{j}}{r^{3}_{ij}} \cdot \vec{r_{ij}} +\end{equation} -\path[line width=0.25mm] (no) edge [bend left] node {} (paramter); +bzw. -\end{tikzpicture} +\begin{equation}\label{eq:n-body-2nd} + \frac{d^{2}\vec{r_{i}}}{dt^{2}} = + G \cdot \sum_{j = 1} \frac{m_j}{r^{3}_ij} \cdot \vec{r_{ij}} +\end{equation} -\subsection{Spiralgalaxien} -\subsubsection{Das n-Körper Problem} +Die neue Position und Geschwindigkeit eines Körpers wird mithilfe der bereits +bekannten Beschleunigung berechnet, was zu der Formel (\ref{eq:n-body-2nd}), die +eine zweite Ableitung enthält, führt. Die Formel (\ref{eq:n-body-2nd}) kann +jedoch in zwei neue Formeln umgeschrieben werden, die jeweils nur eine erste +Ableitung enthalten: + +\begin{align}\label{eq:hamilton} + \frac{d\vec{r_{i}}}{dt} &= \vec{v_i} \\ + \frac{d\vec{v_{i}}}{dt} &= G \cdot \sum_{j = 1} \frac{m_j}{r^{3}_{ij}} + \cdot \vec{r_{ij}} +\end{align} + +Die Formeln (\ref{eq:hamilton}) entsprechen der Bewegungsgleichung nach +Hamilton. Möchte man nun die Position der einzelnen Sterne berechnen, müssen +die Werte aus der Funktion in für einen Computer darstellbare Werte umgewandelt +werden. -\subsection{Größeneinheiten} +Eines der Probleme um die Bewegung eines Sternes zu formulieren liegt dabei, +einen Anfangswert für die Bewegung zu finden. Dies wird durch die folgende +Formel gelöst: \begin{equation} - 3.086 \cdot 10^{36} m + x_{t + 1} = x_{t} + \Delta t \cdot F(x_{i}, t_{i}) +\end{equation} + +Die Position eines Sternes nach einer Zeit von \( \Delta t \) wird durch die +vorherige Position und die auf der Stern wirkenden Kräfte bestimmt. +Der Term \( \Delta t \cdot F(x_{i}, t_{i}) \) wird auch als erster Schritt in +der Taylor-reihe bezeichnet mit der weitere Punkte anhand der Ableitung +vorheriger Punkte errechnet werden können. +Die Veränderung der Position kann aus der Formel (\ref{eq:hamilton}) abgeleitet +werden: + +\begin{align} + \Delta \vec{r_{i}} &= + \vec{v_{i}} \cdot \Delta t \\ + \Delta \vec{v_{i}} &= + G \cdot \Delta t \cdot \sum_{j = 1} \frac{m_{j}}{r^{3}_{ij}} \vec{r_{ij}} +\end{align} + +\subsubsection{Unterteilung des Vektorraumes in verschiedene Zellen} +Die Kräfte die innerhalb der Galaxie wirken können mithilfe eines Vektorraumes +dargestellt werden. Dabei kann jedem Punkt im Raum ein Vektor zugewiesen werden. +Der Vektorraum im falle von Galaxien stellt erstmal nur die Kräfte, die die +Sterne aufeinander auswirken da. +Um nicht unendlich viel rechnen zu müssen wird der Vektorraum in verschiedene +Zellen unterteilt in denen jeweils die mittlere Kraft berechnet wird. + +\subsubsection{Berechnung der wirkenden Kräfte} +Die wirkenden Kräfte können wie in Formel (\ref{eq:gravitation_law}) zu sehen +berechnet werden: + +\begin{equation}\label{eq:gravitation_law} + F_{1} = F_{2} = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}} + {\sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2}} \end{equation} + +\begin{tabular}{l l} +\( F_1 , F_2 \) & Wirkende Kräfte zwischen zwei Massen \\ +G & Gravitationskonstante \( 6,67408 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \cdot s^2} \) \\ +\( m_1 \) & Erste Masse \\ +\( m_2 \) & Zweite Masse \\ +\( r \) & Abstand der Massen +\end{tabular} + +\paragraph{Masse der Sterne} +Die Masse der Sterne ist einer der entscheidende Faktoren wenn es darum geht +Galaxien zu generieren: verändert man die Masse der Sterne verändert sich sofort +das gesamte Gleichgewicht in der Galaxie was zu unerwarteten Ereignissen führen +kann. +\par Allgemein gesehen werden zwei Variablen gebraucht: die +\textbf{Minimalmasse} und die \textbf{Maximalmasse}. Zwischen diesen beiden +Werten werden zufällig Werte generiert und den Sternen zugewiesen. +\par Die Veränderung der Masse wird erstmal nicht berücksichtigt. + +\paragraph{Abstand der Sterne} +Der Abstand der Sterne kann mit dem Satz des Pythagoras (Formel +(\ref{eq:pytagoras})) berechnet werden. + +\begin{equation}\label{eq:pytagoras} + r_{a, b} = \sqrt{(a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2 + (a_z - b_z)^2)} +\end{equation} + +\subsection{Weiteres} +Um die Simulation zu beschleunigen können andere Simulationsmodelle +verwendet werden wie z. B. die Kräfte in verschiedenen Feldern berechnen um +diese anschließend weiter zu evaluieren. + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.75\textwidth]{figs/spiralgalaxy} + \caption{Eine Spiralgalaxie generiert mithilfe von Daten aus dem Max-Plank-Institut in Heidelberg} + \label{fig:spiralgalaxy} +\end{figure} |
