diff options
Diffstat (limited to 'main.tex')
| -rw-r--r-- | main.tex | 466 |
1 files changed, 26 insertions, 440 deletions
diff --git a/main.tex b/main.tex index dee760e..b655726 100644 --- a/main.tex +++ b/main.tex @@ -1,21 +1,21 @@ -\documentclass[a4paper, 10pt]{article} +\documentclass[twocolumn, a4paper, 10pt]{article} \usepackage[top=2cm, bottom=2cm, left=1.5cm, right=1.5cm]{geometry} -\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} % support for utf8 chars %\usepackage[english]{babel} -\usepackage[german]{babel} +\usepackage[german]{babel} % german language +% general math stuff \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsthm} -\usepackage[hidelinks]{hyperref} -\usepackage{graphicx} -\usepackage{caption} -\usepackage{lmodern} -\usepackage{tikz} -\usepackage{multicol} -\usepackage{lipsum} +\usepackage[hidelinks]{hyperref} % clickable links +\usepackage{graphicx} % graphics +\usepackage{caption} % captions +%\usepackage{lmodern} % even nicer font +\usepackage[stable]{footmisc} % footnotes +% code listings \usepackage{listings} \usepackage{listings-golang} @@ -24,440 +24,26 @@ language=golang, } -\linespread{1} +% tikz for drawing stuff and forest for nice graphs +\usepackage{tikz} +\usepackage{forest} -\newcommand{\rarrow}{\( \rightarrow \)} +\linespread{1} \begin{document} -\title{\huge Galaxy Simulation\\ \large Jugend Forscht 2018/2019} -\date{2018 - 2019} -\author{Emile Hansmaennel}%\\ Theodor-Fliedner-Gymnasium, Heinrich Heine -%Universität Düsseldorf} - -\maketitle - -\begin{multicols*}{2}[ -\abstract{ - \parbox{0.85\textwidth}{ - \centering - \parbox{0.6\textwidth}{ - \centering - \bigskip - Ist es möglich die Entstehung von Galaxien zu simulieren? Um -diese Frage zu beantworten bin ich zu dem Schluss gekommen, dass ich das doch -einfach mal ausprobieren sollte. Dazu habe ich das Navarro-Frenk-White Profil -implementiert um anschließen die Kräfte die Zwischen den Sternen wirken zu -berechnen. Dabei stattete ich die Sterne mit einer zufälligen Masse aus und -Unterteilte die Galaxie in dynamisch-große Zellen um die Simulation stark zu -beschleunigen. Um eine Stabile Galaxie zu simulieren müssen jedoch alle Sterne -in der Galaxie eine Anfangsgeschwindigkeit besitzen die sie auf eine Kreisbahn -lenkt, damit die Kraft, welche die Sterne in die Mitte der Galaxie zieht -ausgeglichen werden. - \bigskip - } - } -} -] - -\renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis} \tableofcontents[Inhalt] - -\section{Einleitung} -Das Projekt ist nach meinem vorletzten Jugend-Forscht Projekt entstanden: Ich -habe ein Praktikum in Astronomischen Recheninstitut in Heidelberg genutzt, um -mit einem Doktoranden\footnote{Tim Tugendhat} das Navarro-Frenk-White Profil, -das zum generien von Punktwolken genutzt wird, zu visualizieren. Anschließend -hat sich das Projekt ein bisschen verlaufen, irgendwann beschloss ich jedoch, -dass das Projekt weiterzuführen und statt nur statische Galaxien zu generieren -dazu überzugehen die Galaxien zu simulieren, also die Entwicklung einer -virtuellen Galaxie zu untersuchen. Eines der Entscheidenden Probleme war die -Laufzeit der Simulation. Das Problem das es zu lösen galt, war die nutzung von -mehreren Threads mit der nutzung des Barnes-Hut Algorithmus zu kombinieren. -Das Ergebniss ist sehr schön: Durch die nutzung der Programmiersprache Golang -war das einbauen der nutzung von mehreren Threads vergleichsweise einfach. - -\section{Vorgehensweise} - -Wie schon in der Einleitung beschrieben habe ich mehrere Techniken kombiniert -um mein Ziel zu erreichen. Das komplette Projekt lässt sich in mehrere -Abschnitte unterteilen: Die Generierung der Punktwolke, aus der eine Galaxie -abstrahiert wird. Die Simulation der Galaxie bei der die Kräfte die in der -Galaxie wirken berechnet werden und daraus die Geschwindigkeit und Richtung in -die der Stern fliegt. - -\section{Generieren} - -Das Generieren der Statischen Punktwolke aus der die Galaxie abstrahiert wird -ist ein wichtiger Bestandteil des Gesamtprojektes, denn alles baut auf ihr auf. -Kurz: um Kräfte zwischen Sternen zu berechnen braucht man erstmal Sterne! - -\subsection{Das Navarro-Frenk-White Profil} -Das Navarro-Frenk-White Profil (NFW-profil) ist ein Profil zur Generierung von -Koordinaten in n-Dimensionalen Systemen. Das Profil gibt einem die -Warscheinlichkeit \( \rho \) zurück, dass ein Punkt im Abstand \( r \) zum -Mittelpunkt des raumes existiert. Die dazugehörige Funktion sieht wiefolgt -aus: - -\begin{equation} \label{eq:NFW_profile} - \rho_{NFW}(r) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 \pi } \cdot \sigma } \cdot - \exp \left( \frac{ -\phi(r) }{ \sigma^{ 2 } } \right) -\end{equation} - -\begin{equation*} - \phi(r) = \frac{ 4\pi \cdot G \cdot f_{0} \cdot R_{s}^3 }{ r } \cdot - ln{ \left( 1 + \frac{ r }{ R_{s} } \right) } -\end{equation*} - -Möchte man nun herausfinden wie weit ein Punkt mit der Koordinate \( (x_1, x_2, -... , x_n) \) mit \( x \in \mathbb{N} \) vom Mittelpunkt des Raumes entfernt -ist, kann der Satz des Pythagoras (\ref{eq:pythagoras}) verwendet werden. - -\begin{equation} \label{eq:pythagoras} -r_n = \sqrt{\sum_{i=0}^{n} x_i^2} \qquad n \in \mathbb{N} -\end{equation} - -Der Abstand \( r \) zum Mittelpunkt des Raumes kann nun in das NFW-Profil -\ref{eq:NFW_profile} gegeben werden wodurch ein Wert \( s \) entstehet: - -\begin{equation} -\rho_{NFW}(r) = \dots = s -\end{equation} - -Dieser Wert \( s \) stellt die Warscheinlichkeit dar, das ein Stern der -eine Entfernung \( r \) vom Mittelpunkt der Galaxie besitzt existiert. - -Die Galaxie Wirkt nun aus der Ferne wie ein Würfel, da die aus \( \rho \) -retultierende Kurve aprubt endet. Dies kann gelöst werden, indem statt \( -\rho_{NFW}(r) \) folgendes gerechnet wird: \( \rho_{NFW}(r) - -\rho_{NFW}(r_{max}) \) - -\subsection{Random Sampling} -Sei \( s \) ein zufälliger Wert im Intervall \( \psi = [ \rho(r_{min}); \rho(r_{max}) ] -\). Generiert man nun einen zufälligen Wert \( r \) im Intervall \( \psi \), -kann man schauen ob \( s > r \lor s < r \) gilt. Ist \( r > s \), wird der Stern verworfen, -ist \( r < s \) wird der Stern behalten. - -\subsection{Lookup Tabellen} -Statt bei der generierung eines Punktes jedes mal das NFW-Profil -(\ref{eq:NFW_profile}) anzuwenden, kann das NFW-Profil für einen Bereich -vorberechnet werden und in einer Tabelle abgespeichert werden. Somit kann wenn -eine Entfernung \( r \) zum Mittelpunkt des Raumes vorliegt der entsprechende -Wert aus der Tabelle ausgelesen werden. Die Tabelle kann jedoch nicht so -genaue Ergebnisse liefern wie das NFW-Profil, sie kann jedoch so angepasst -werden, dass sie in den Arbeisspeicher passt und somit das Generieren stark -verschnellert. Mit genügend Arbeitsspeicher ist der Fehler auch -vernachlässigbar. - -\subsection{Beschleunigung der Generierung} -Es existieren mehere Möglichkeiten das Generierung der Punkte zu verschnellern. - -Eine gute Möglichkeit ist die Nutzung von mehr Rechenleistung. Bei der Nutzung -von \( n \) Rechenkernen ist das Generieren von Sternen \( n \) mal schneller. -Die Server des Server-Hosters Hetzner können dabei gut verwendet werden: -Es wird stündlich aberechnet und 32 Kerne mit 128 GB RAM kosten \( \approx \) -50ct / h was es ermöglicht für einen vergleichsweisen Günstigen Preis, sehr -viele Koordinates zu generieren. - -Die Ausgabe von jeder Potentiellen Koordinate in die Kommandozeile verlangsamt -die Generierung unglaublich stark, da der Rechner darauf wartet das die Ausgabe -fertig ist bevor er mit der nächsten rechnung beginnt was zu einer relativ -starken verlangsamung der Generierung führt. - -\section{Simulieren} - -\subsection{Die Entstehung von Galaxien} -``Eine Galaxie ist eine durch gravitation gebundene große Ansammlung von -Sternen, Planetensystemen, Gasnebeln und sonstigen Stellaren Objekten.`` -\footnote{ https://de.wikipedia.org/wiki/Galaxie} - -Demnach ist es relativ Einfach eine Galaxie zu generieren: es werden einfach -ganz viele Objekte in einen Raum geworfen. Das reicht jedoch nicht um die -Objekte als Galaxie definieren zu können, da sie nicht ``durch Gravitation -gebunden`` sind. - -Um dies zu tun muss die Kraft zwischen allen Objekten in der Galaxie berechnet -werden und damit die Position des Objektes nach einer bestimmten Zeit bestimmt -werden. - -Dies reicht jedoch auch nicht um eine ``stabile`` Galaxie zu generieren: -berechnet man nur die Kräfte die auf ruhende Objete in einem Reibungfreiem Raum -wirken, würden alle Objekte zum Massemittelpunkt gezugen werden und die Galaxie -würde somit implodieren. Es ist also nötig auf die Sterne in der Galaxie -anfangskräfte auszuwirken. Diese Kräfte sind durch die Rotation der Galaxie um -den Massemittelpunkt der Galaxie definiert, man rotiert also die Galaxie und -gleicht dadurch die Kraft die Alle Sterne richtung Massemittelpunkt zieht aus. -Rotiert man die Galaxie jedoch zu schnell, explodiert sie Förmlich, da die -Sterne nicht mehr zusammengehalten werden und die Fliehkraft sie einfach -auseinanderzieht. - -\subsection{Berechnung der Beschleunigungen} -Um die Beschleunigung die auf einen Stern wirk zu berechnen wird folgendes -berechnet: - -\begin{equation} \label{eq:beschleunigung} - a = G \cdot \frac{\Delta{M_2}}{\Delta{r}^2} -\end{equation} - -\( G \) steht hier fúr die Universellt Gravitaionskraft, \( \Delta M \) für die -Masse des Objektes das Umkresit wird und \( \Delta r \) für die Entfernung zum -Mittelpunkt des Objektes das umkreist wird. -Problem ist, dass kein Objekt umkreist wird sondern eine große Anzahl an Sternen. -Es ist also nich möglich mithilfe von herkömmlichen Methoden die Beschleunigung -die auf einen Stern wirkt zu berechnen. - -\subsubsection{Die Kraft als Vektor} -Um die Kraft als Vektor darkzustellen, muss die Formel \ref{eq:beschleunigung} -mithilfe von Vektoren neu aufgestellt werden: - -\begin{equation} \vec{F}_{12} = \underbrace{-G \frac{m_1 m_2}{|r_{12}|^2}}_{Scalar} -\cdot \underbrace{\frac{r_2 - r_1}{|r_2 - r_1|}}_{Vector} \end{equation} - -Die Summe der Kräfte die auf einen Stern wirken ist somit die Summe aller -Kräfte die zwischen dem jeweiligen Stern \( a \) und allen anderen Sternen -wirken: - -\begin{equation} F_{a} = \sum_{i=0}^{n-1} F_{ai} \end{equation} - -\subsubsection{Probleme} -Ein Problem das auftritt wenn die Kräfte zwischen allen Sternen berechnet -werden ist, dass der Rechenaufwand \( O(n \cdot n-1) \approx O(n^2) \) beträgt. -Problematisch wird es, wenn der mittlere Fehler, der bei der Berechnung der -Kraft entsteht, größer als die Kraft wird. Das passier bei Sternen die sehr -weit von einander entfernt liegen. Statt weiterzurechnen kann man die Sterne -dann einfach weglassen, da die Daten unzuverlässig sin. - -Die Lösung des Problems ist die verwendung des Barnes-Hut Algorithmuses, der -duch die Unterteilung der Galaxie in verschiden große Zellen die -Rechenkomplexität von \( O(n^2) \) auf \( O(n \log(n) \) runterbricht: - -\subsubsection{Berechnung der Umlaufgeschwindigkeit} -Die Umlaufgeschwindigket kann berechnet werden, indem die Kraft die die Sterne -in die Mitte der Galaxie zieht \( \left( F = G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} -\right) \) mit der Zentripetalkraft \( \left( F_z = \frac{m \cdot v^2}{r} -\right)\) gleichgesetzt wird: - -\begin{equation} -v = \sqrt{\frac{G \cdot M_E}{r}} -\end{equation} - -\( M_E \) steht dabei für die Masse der Erde, \( G \) für die -Gravitaitonskonstante und \( r \) für den Bahnradius. Da wir jedoch nicht in -der Erdumlaufbahn, sondern in einer Galaxienumlaufbahn hantieren, können wir -nicht die Masse der Erde nutzen. Wir müssen daher eine andere Möglichkeit -nutzen, die größe der Masse, die den Stern in Richtung Massemittelpunkt zieht zu -berechnen. - -\subsubsection{Ellipsen und die Geschwindigkeit der Sterne} -Da die Sterne nicht auf perfekten Kreisbahnen um den Mittelpunkt der Galaxie -fliegen muss in betracht gezogen werden wie die Sterne auf Elliptischen Bahnen -orbitieren. Wichtigt ist dabei die Geschwindigkeit, diese muss zwischen der -ersten Kosmischen Geschwindigkeit \( v_k \) und der zweiten Kosmischen -Geschwindigkeit \( v_P \) liegen. Die beiden Kosmischen Geschwindigkeiten sind -folgendermaßen definiert: - -\begin{equation} -v_{k1} = \sqrt{\frac{GM}{r}} -\end{equation} -\begin{equation} -v_{k2} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} -\end{equation} - -Die Tatsache das die Sterne auf Elliptischen Bahnen unterwegs sind ist für die -Berechnung irrelevant, da eh für jeden Zeitschritt \( t \) eine neue Kraft -berechnet wird aus der eine Beschleunigung berechnet wird die wiederum die neue -Position des Sternes ergibt. Hält man die Geschwindigkeit der Sterne somit im -interval \( (v_{k1} ; v_{k2}) \), dann ergibt sich (in der Therorie) von -alleine eine elliptische Bahn. - -\subsection{Entwicklung der nötigen Software} -Die Software ist komplett in Golang geschrieben was die nutzung von mehreren -Threads mithilfe von Go-Methoden stark vereinfacht. Um den Barnes-Hut -Algorithmus anzuwenden muss die Galaxie in einen Octree unterteilt werden. -Dabei wird eine Zelle definiert die alle Sterne beinhaltet welche anschließen -solange unterteilt, bis eine der drei Endbedingungen eintrifft: \begin{itemize} - \item Die Zelle enthält weniger als eine vordefinierte mindestmenge an - Sternen \item Die Zelle ist kleiner als eine vordefinierte -mindestgröße \item Es wurde eine maximale Anzahl an Unterteilungen vorgenommen -\end{itemize} Ein wichtiger Aspekt ist jedoch auch, dass die Zellen rekursiv -generiert werden. Kurzgesagt, die 'kinder'-Zellen dürfen müssen aus der -Koordinates der 'Eltern'-Zellen generiert werden. Ist eine die übergeordnete -Zell beispielweise definiert durch ihren Mittelpunkt \( m \) und die Maximale -Breite \( b \) des Feldes, kann die Position der jeweiligen untergeordneten Zelle -folgendermaßen berechnet werden: - - -\begin{equation} - NW = \left( m \pm \frac{b}{2}, m \pm \frac{b}{2} \right) -\end{equation} - - -\bigskip - -\begin{center} -\begin{tikzpicture} - % First Layer - \draw [line width=0.5mm] (0, 0) rectangle (6, 6); - - % Second Layer - \draw [line width=0.25mm] (0, 0) rectangle (3, 3); - \draw [line width=0.25mm] (3, 0) rectangle (6, 3) node[pos=0.5] { \( \delta \) }; - \draw [line width=0.25mm] (0, 3) rectangle (3, 6) node[pos=0.5] { \( \alpha \) }; - \draw [line width=0.25mm] (3, 3) rectangle (6, 6) node[pos=0.5] { \( \beta \) }; - - % Third Layer - \draw [line width=0.125mm] (0, 0) rectangle (1.5, 1.5) node[pos=0.5] { \( \gamma \gamma \) }; - \draw [line width=0.125mm] (1.5, 0) rectangle (3, 1.5) node[pos=0.5] { \( \gamma \delta \) }; - \draw [line width=0.125mm] (0, 1.5) rectangle (1.5, 3) node[pos=0.5] { \( \gamma \alpha \) }; - \draw [line width=0.125mm] (1.5, 1.5) rectangle (3, 3) node[pos=0.5] { \( \gamma \beta \) }; -\end{tikzpicture} -\end{center} - -Nehmen wir als Beispiel das Feld \( \gamma \beta \). - -\subsubsection{Barnes-Hut-simulation} -Wie bereits beschrieben wird die Galaxie in Zellen unterteilt. Dabei kann, wenn -eine Zelle weit genug von einem spezifischen Stern entfernt ist, die Zelle zu -ihrem Massemittelpunkt vereinfacht werden. Der Massemittelpunkt kann wiefolgt -berechnet werden: - -\begin{equation} -\left( \frac{ \sum_{i=0}^{n} x_i \cdot m_i }{ \sum_{i=0}^{n} m}, -\frac{ \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot m_i }{ \sum_{i=0}^{n} m } \right) -\end{equation} - -Dabei wird die mithilfe ihrer Masse gewichtete Summe der Sterne durch die -gesamt Masse geteilt um die geweilige Coordinaten-komponente zu erhalten. Dies -muss für jede Zelle einmal getan werden und in der jeweiligen Zellen-struktur -gespeichert werden wodurch am Ende jede Zelle die Koordinaten ihres -Massemittelpunktes kennt. - -Der Barnes-Hut-Algorithmus verringert die Anzahl zu berechnenden Kräfte durch -geeignetes Zusammenfassen von Teilchengruppen zu Pseudoteilchen -\footnote{https://de.wikipedia.org/wiki/Barnes-Hut-Algorithmus}. - -Der um eine Abschätzung zu bekommen, wie gut es ist, die Sterne zu bündeln, -muss darauf geachtet werden, das das Verhältnis vom Gruppendurchmesser \( d \) -zum Radius \( r \) möglichst gering ist: - -\begin{equation} \label{theta} \theta = \frac{d}{r} \end{equation} - -Die Datenstruktur die einen Barnes-Hut Baum speichert ist am besten wiefolgt -definiert: - -\subsubsection{Datentypen} -Um generell irgendwas zu tun muss in fast allen fällen etwas definiert werden. -Zur Simulation von Galaxien brauchen wir voallem eine Methode, Sterne -einheitlich zu definieren. Der unten definierte Vec2-typ kann einen Vektor oder -eine Koordinate darstellen was ihn in der Anwendung zu einem praktischen -Hilfsmittel macht. Er speichert die X und Y Komponente der jeweiligen Struktur -die er darstellen soll als float64-typ. - -\begin{lstlisting} -type Vec2 struct { - X float64 - Y float64 -} -\end{lstlisting} - -Mithilfe des Vec2-typens kann ein Kompletter Stern definiert werden. Dabei wird -ein Stern mithilfe seine Position \( C \), seiner Geschwindigkeit \( V \), und -seiner Masse \( M \) beschrieben. - -\begin{lstlisting} -type Star2D struct { - C Vec2 - V Vec2 - Mass float64 -} -\end{lstlisting} - -Um einen sogennanten quadtree bzw. octree aufzubauen wird erstmal eine -Räumliche Begrenzung benötigt, die einem Raum beschriebt indem die Sterne -enthalten sind oder nicht. Diese grenze ist als `Boundary` definiert, es wird -dabei der Mittelpunkt der Begrenzung und die kürzeste Entfernung zwischen -mittelpunkt und äußerer Begrenzung genutzt um den Raum zu definieren. - -\begin{lstlisting} -type Boundary struct { - Center Vec2 - HalfDimension float64 -} -\end{lstlisting} - -Der eigentliche QuadTree bzw. Octree beinhaltet einige Informationen: Die -Anzahl in ihm enthaltene Sterne, die Räumliche ausbreitung, die eigentlichen -Sterne als Star2D definiert und die RecursionTiefe als integer. Die Definition -des QuadTrees der Unten zu sehen ist enthält Zeiger zu den Kindern des -Quadtrees und ist somit rekusriv definiert was es einfach macht neue Kinder zu -erstellen, da diese eine Kopie ihere Eltern mit einer anderen Begrenzung -darstellen wodurch die in ihnen enthaltenen Sterne weniger werden. - -\begin{lstlisting} -type QuadTree struct { - StarCount int - Boundary Boundary - Star []Vec2 - - NorthWest *QuadTree - NorthEast *QuadTree - SouthWest *QuadTree - SouthEast *QuadTree - - ReccursionDepth int -} -\end{lstlisting} - -\paragraph{Idee:} -Wenn man bei herrausfinden welcher Stern in welcher Zelle liegt jedem Stern -eine Zellen-id zuweist, kann man wenn man die Kraft zwischen zwei sehr weit -entfernten Sternen berechnen will direkt dazu übergehen, die Kraft zum -Massemittelpunkt der Zelle indem der weit eintferne Stern liegt zu berechnen. - -\subsubsection{Runge-Kutta methods} -Die Runge-Kutta Methode wird genutzt, um die Position eines objektes nach einer -Beliebigen Zeit zu approximieren. Dabei kann, bei nutzung eines mglich kleinen -Zeitschrittes, ein sehr genaues Ergebniss erzielt werden. In unserem Fall -haben wir einen Stern auf den eine Kraft wirkt. Wir wollen die Position des -Sternens nach einem Zeitschritt berechnen, jedoch auch eine andere Kraft -miteinbringen um die Sterne auf eine Ellipische Bahn um die Mitte der Galaxie -zu bringen. -Die Geschwindigkeit die der Stern dabei annnimmt kann mit der fogenden Formel -berechnet werden: - -\begin{equation} - v = \sqrt{ar} -\end{equation} - -\subsubsection{Goroutines} -Die nutzung von mehreren sogennanten Go-Methoden ist unglaublich effektiv, da -es die Zeit die gebraucht wird das Programm auszuführen drastisch verringert. -Die implementation ist ebenfalls unglaublich einfach, es recht - -\section{Ergebnisse} -Wie bewertest Du Deine Ergebnisse? Wie passt das zu dem, was Du über Dein Thema -gelesen oder gehört hast? Was ist gut gelaufen im Projekt, was war schlecht, -was könnte noch verbessert werden? Das simulieren von Galaxien ist komplett -ohne optimierungen ein sehr rechenaufwendiger prozess, weshalb einer der -wichtigsten aspekte des Projektes war, die effizienz zu erhöhen. - -\subsection{Das n-Körper Problem} -Das N-Körper Problem ist blöd (aber notwendig D:) (Und es ermöglicht das ganze -erst!) - -\subsection{Beschleunigung der Berechnung von Kräften} -\( n^2 \rightarrow n \cdot log(n) \) -iasd - -\subsection{Fazit} -Welche Antwort kannst Du auf Deine Forschungsfrage geben? Hast Du Dein Ziel -erreicht? Langsam, Ok, schneller, Schnell, Hyperspeed! - - -\section{Quellen und Literaturverzeichnis} - -THE INTERNET! - -\end{multicols*} +\input{docs/titleabstract.tex} +\tableofcontents + +\input{docs/einleitung} +\input{docs/vorgehensweise} +\input{docs/generieren} +\input{docs/simulieren} +\input{docs/ergebnisse} +\input{docs/darstellung} +\input{docs/vektoren} +\input{docs/fazit} +\input{docs/quellenliteraturverzeichniss} \end{document} |
